Ich fürchte, Mietwagen ist in beiden Richtungen absolut nicht möglich. Jordanien hat zwar einen Friedensvertrag mit Israel, aber dazu ist das Misstrauen der Israelis zu groß, Autos die Grenze passieren zu lassen. Meines Wisses die einzigen Fahrzeuge, die passieren können, sind Diplomatenfahrzeuge. Selbst bei Gruppenreisen müssen die Touristen die Busse wechseln.
Wenn nur Petra auf der jordanischen Seite besucht werden soll (dort ist jedoch noch viel mehr Sehenswertes), dann kann man evtl. in einem israelischen Reisebüro einen Tagesausflug nach Petra buchen (Buswechsel etc., aber viel zu wenig Zeit für Petra)
Wenn schon 1 Woche zur Verfügung steht, ist die umgekehrte Vorgehensweise zu überlegen. 1 Woche Rundreise in Jordanien incl. eines 2-3 Tages Ausflugs nach Jerusalem, Jericho etc.
Für Menschen mit EU-Pass ist dies gut zu organisieren (arrangieren auch jordanische Reisebüros). Im umgekehrten Fall ist der israelische Sicherheitsfanatismus ein sehr grosses Hinderniss und macht das Reisen dort (genauso wie für die palästinensische Bevölkerung) zu einem Spießrutenlauf.